В квадрате 4×4 клетки левой половины покрашены в чёрный цвет, а остальные – в белый. За одну операцию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахматную?

   Решение

Тема:    [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть A₁, B₁,..., F₁ — середины сторон AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A₁C₁E₁ и B₁D₁F₁ совпадают.

Решение

Поместим в вершины шестиугольника единичные массы; пусть O — центр масс полученной системы точек. Так как точки A₁, C₁ и E₁ являются центрами масс пар точек (A, B), (C, D) и (E, F), то точка O является центром масс системы точек A₁, C₁ и E₁ с массами 2, т. е. O — точка пересечения медиан треугольника A₁C₁E₁ (см. решение задачи 14.4). Аналогично доказывается, что O — точка пересечения медиан треугольника B₁D₁F₁.

Источники и прецеденты использования