Задача 57771

Тема:    [ Момент инерции ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n²R².

Решение

Поместим в данные точки единичные массы. Как следует из результата задачи 14.18, а), сумма квадратов попарных расстояний между этими точками равна nI, где I — момент инерции системы точек относительно центра масс. Рассмотрим теперь момент инерции системы относительно центра O окружности. С одной стороны, II_O (см. задачу 14.17). С другой стороны, так как расстояние от точки O до любой из данных точек не превосходит R, то I_OnR². Поэтому nIn²R², причем равенство достигается, только если I = I_O (т. е. центр масс совпадает с центром окружности) и I_O = nR² (т. е. все точки расположены на данной окружности).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	3
Название	Момент инерции
Тема	Момент инерции
задача
Номер	14.023