Информация о задаче

Задача 57787

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) и ( $\alpha^{-1}_{}$ : $\beta^{-1}_{}$ : $\gamma^{-1}_{}$ ) изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) и (a²/ $\alpha$ : b²/ $\beta$ : c²/ $\gamma$ ) изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.

Решение

а) Пусть X и Y — точки с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) и ( $\alpha^{-1}_{}$ : $\beta^{-1}_{}$ : $\gamma^{-1}_{}$ ); прямые CX и CY пересекают прямую AB в точках X₁ и Y₁. Тогда $\overline{AX_1}$ : $\overline{BX_1}$ = $\beta$ : $\alpha$ = $\alpha^{-1}_{}$ : $\beta^{-1}_{}$ = $\overline{BY_1}$ : $\overline{AY_1}$ . Аналогичные рассуждения для прямых AX и BX показывают, что точки X и Y изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Пусть X — точка с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ). Можно считать, что $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 1. Тогда согласно задаче 14.34 $\overrightarrow{AX}$ = $\beta$ $\overrightarrow{AB}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{AC}$ = $\beta$ c( $\overrightarrow{AB}$ /c) + $\gamma$ b( $\overrightarrow{AC}$ /b). Пусть Y — точка, симметричная точке X относительно биссектрисы угла A; ( $\alpha{^\prime}$ : $\beta{^\prime}$ : $\gamma{^\prime}$ ) — барицентрические координаты точки Y. Достаточно проверить, что $\beta{^\prime}$ : $\gamma{^\prime}$ = (b²/ $\beta$ ) : (c²/ $\gamma$ ). При симметрии относительно биссектрисы угла A единичные векторы $\overrightarrow{AB}$ /c и $\overrightarrow{AC}$ /b переходят друг в друга, поэтому $\overrightarrow{AY}$ = $\beta$ c( $\overrightarrow{AC}$ /b) + $\gamma$ b( $\overrightarrow{AB}$ /c). Следовательно, $\beta{^\prime}$ : $\gamma{^\prime}$ = ( $\gamma$ b/c) : ( $\beta$ c/b) = (b²/ $\beta$ ) : (c²/ $\gamma$ ).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.038