Информация о задаче

Задача 57791

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что величина S, введенная в задаче 14.41B, обладает следующими свойствами:
а) S_A = ${\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$ , S_B = ${\frac{c^2+a^2-b^2}{2}}$ , S_C = ${\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$ .
б) S_A + S_B = c², S_B + S_C = a², S_C + S_A = b².
в) S_A + S_B + S_C = S, где $\varphi$ — угол Брокара.
г) S_AS_B + S_BS_C + S_CS_A = 4S².
д) S_AS_BS_C = 4S²S - (abc)².

Решение

а) Согласно теореме косинусов cos A = ${\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$ , поэтому 2SctgA = bc cos A = ${\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$ .
б) Очевидно следует из а).
в) Согласно задаче 5.117 ctgA + ctgB + ctgC = ctg $\varphi$ .
г) Легко проверить, что 4(S_AS_B + S_BS_C + S_CS_A) = 2(a²b² + b²c² + c²a²) - a⁴ - b⁴ - c⁴. Равенство 16S² = 2(a²b² + b²c² + c²a²) - a⁴ - b⁴ - c⁴ следует из формулы Герона.
д) Согласно задаче 12.44 а) S = ${\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$ . Таким образом, наша задача сводится к проверке тождества

	(b² + c² - a²)(c² + a² - b²)(a² + b² - c²) - 8a²b²c² =
	= $\displaystyle \bigl($ 2(a²b² + b²c² + c²a²) - a⁴ - b⁴ - c⁴ $\displaystyle \bigr)$ (a² + b² + c²).

Это тождество легко проверяется.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.041B1