Задача 57795

Тема:    [ Барицентрические координаты ]

Сложность: 7 Классы: 9,10

Условие

Пусть d_ab и d_ac — расстояния от вершин B и C до прямой l_a, касающейся внешним образом окружностей S_b и S_c (и отличной от прямой BC); числа d_bc и d_ba, d_cb и d_ca определяются аналогично. Докажите, что d_abd_bcd_ca = d_acd_bad_cb.

Решение

Запишем равенство из задачи 14.41B4 для прямой l_a и окружностей S_b и S_c. В результате получим ad_aa - bd_ab + cd_ac = 2S_ABC и ad_aa + bd_ab - cd_ac = 2S_ABC, где d_aa — расстояние от точки A до прямой l_a. Таким образом, bd_ab = cd_ac, т.е. d_ab/d_ac = c/b. Аналогично d_bc/d_ba = a/c и d_ca/d_cb = b/a. Перемножая эти три равенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	5
Название	Барицентрические координаты
Тема	Барицентрические координаты
задача
Номер	14.041B5