Задача 57846

Темы:    [ Композиция центральных симметрий ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

а) Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.
б) Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.

Решение

а) Пусть точка A при центральной симметрии относительно точки O₁ переходит в точку A₁, точка A₁ переходит при симметрии относительно O₂ в точку A₂. Тогда O₁O₂ — средняя линия треугольника AA₁A₂ поэтому = 2.
б) Пусть O₂ — образ точки O₁ при переносе на вектор  a/2. Согласно задаче а) S_O2oS_O1 = T_a. Умножая это равенство на S_O1 справа или на S_O2 слева и учитывая, что S_XoS_X — тождественное преобразование, получаем S_O1 = S_O2oT_a и  S_O2 = T_aoS_O1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	16
Название	Центральная симметрия
Тема	Центральная симметрия
параграф
Номер	2
Название	Свойства симметрии
Тема	Свойства симметрии и центра симметрии
задача
Номер	16.009