Задача 57848

Темы:    [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Композиция центральных симметрий ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Условие

а) Докажите, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии.
б) Докажите, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии.
в) Пусть M — конечное множество точек на плоскости. Точку O назовем к почти центром симметриик множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что O будет центром симметрии оставшегося множества. Сколько к почти центров симметриик может иметь M?

Решение

а) Предположим, что ограниченная фигура имеет два центра симметрии O₁ и O₂. Введем систему координат с осью абсцисс, направленной по лучу O₁O₂. Так как S_O2oS_O1 = T₂, фигура переходит в себя при переносе на вектор 2. Ограниченная фигура не может обладать этим свойством, так как образ точки с наибольшей абсциссой не принадлежит фигуре.
б) Пусть O₃ = S_O2(O₁). Легко проверить, что S_O3 = S_O2oS_O1oS_O2. Поэтому если O₁ и O₂ — центры симметрии фигуры, то и O₃ — центр симметрии, причем O₃O₁ и  O₃O₂.
в) Покажем, что конечное множество может иметь только 0, 1, 2 или 3 к почти центров симметриик. Соответствующие примеры приведены на рис. Остается доказать, что конечное множество не может иметь больше трех к почти центров симметриик.
Почти центров симметрии конечное число, так как они являются серединами отрезков, соединяющих точки множества. Поэтому можно выбрать прямую, проекции почти центров симметрии на которую не сливаются. Следовательно, доказательство достаточно провести для точек, лежащих на одной прямой.
Пусть на прямой задано n точек с координатами x₁ < x₂ <...< x_{n - 1} < x_n. Если мы выбрасываем точку x₁, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка (x₂ + x_n)/2; если выбрасываем x_n — то только точка (x₁ + x_{n - 1})/2; если же выбрасываем любую другую точку — то только точка (x₁ + x_n)/2. Поэтому почти центров симметрии не больше трех.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	16
Название	Центральная симметрия
Тема	Центральная симметрия
параграф
Номер	2
Название	Свойства симметрии
Тема	Свойства симметрии и центра симметрии
задача
Номер	16.011