Задача 57858

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Композиция центральных симметрий ] [ Построения (прочее) ] [ Произвольные многоугольники ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9

Условие

Даны m = 2n + 1 точек — середины сторон m-угольника. Постройте его вершины.

Решение

Пусть B₁, B₂,..., B_m — середины сторон A₁A₂, A₂A₃,..., A_mA₁ многоугольника A₁A₂...A_m. Тогда S_B1(A₁) = A₂, S_B2(A₂) = A₃,..., S_Bm(A_m) = A₁. Поэтому S_Bmo...oS_B1(A₁) = A₁, т. е. A₁ — неподвижная точка композиции симметрий S_BmoS_{Bm - 1}o...oS_B1. Согласно задаче 16.9 композиция нечетного числа центральных симметрий является центральной симметрией, т. е. имеет единственную неподвижную точку. Эту точку можно построить как середину отрезка, соединяющего точки X и  S_BmoS_{Bm - 1}o...oS_B1(X), где X — произвольная точка.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	16
Название	Центральная симметрия
Тема	Центральная симметрия
параграф
Номер	3
Название	Симметрия помогает решить задачу. Построения
Тема	Центральная симметрия помогает решить задачу
задача
Номер	16.021