Докажите, что: а)  l_a² + l_b² + l_c² p²; б)  l_a + l_b + l_c p.

   Решение

Докажите, что инверсия с центром в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) и степенью AB² переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окружности.

   Решение

Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от нее. Постройте на прямой MN точку X так, что  ∠AXM = 2∠BXN.

   Решение

Темы:    [ Симметрия и построения ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от нее. Постройте на прямой MN точку X так, что  ∠AXM = 2∠BXN.

Решение

  Первый способ. Предположим, что точка X построена. Пусть B' – точка, симметричная точке B относительно прямой MN; окружность радиуса AB' с центром B' пересекает прямую MN в точке C (из двух точек пересечения выбираем лежащую от прямой BB' по ту же сторону, что и точка A). Тогда луч B'X является биссектрисой угла AB'A'. Следовательно, X – точка пересечения прямых MN и B'K, где K – середина отрезка AC.

  Второй способ. Строим окружность с центром в точке B, касающуюся прямой MN. Из точки A', симметричной A относительно MN, проводим касательную A'D к этой окружности (из двух касательных выбираем ту, для которой точка касания D находится по одну сторону с A относительно перпендикуляра, опущенного из B на MN). Тогда X – точка пересечения A'D и MN. Действительно,
∠AXM = ∠A'XM = ∠DXN = 2∠BXN.

Источники и прецеденты использования