Задача 57892

Темы:    [ Композиции симметрий ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Биссектриса угла ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁; точки A₂, B₂ и C₂ симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что  A₂B₂ || AB  и прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть I – центр вписанной окружности; a и b – прямые OA и OB. Тогда  S_aS_b(C₁) = S_a(A₁) = A₂  и  S_bS_a(C₁) = S_b(B₁) = B₂.  Следовательно, точки A₂ и B₂ получаются из точки C₁ поворотами с центром I на противоположные углы, поэтому прямая A₂B₂ перпендикулярна IC, то есть параллельна AB.
  Аналогичные рассуждения показывают, что стороны треугольников ABC и A₂B₂C₂ параллельны, а значит, эти треугольники гомотетичны. Прямые AA₂, BB₂ и CC₂ проходят через центр гомотетии, переводящей треугольник ABC в A₂B₂C₂.

Замечания

При указанной гомотетии описанная окружность треугольника ABC переходит в его вписанную окружность, то есть центр гомотетии лежит на прямой, соединяющей центры этих окружностей.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	4
Название	Композиции симметрий
Тема	Композиции симметрий
задача
Номер	17.025