Задача 57900

Тема:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Докажите, что если плоская фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси перпендикулярны.

Решение

Пусть прямые l₁ и l₂ являются осями симметрии плоской фигуры. Это означает, что если точка X принадлежит фигуре, то точки S_l1(X) и  S_l2(X) принадлежат фигуре. Рассмотрим прямую l₃ = S_l1(l₂). Согласно задаче 17.24 S_l3(X) = S_l!oS_l2oS_l1(X), поэтому l₃ также является осью симметрии.
Если у фигуры ровно две оси симметрии, то l₃ = l₁ или l₃ = l₂. Ясно, что l₃l₁, поэтому l₃ = l₂, т. е. прямая l₂ перпендикулярна прямой l₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	5
Название	Свойства симметрий и осей симметрии
Тема	Свойства симметрий и осей симметрии
задача
Номер	17.032