Задача 57902

Тема:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Докажите, что если многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.

Решение

Все оси симметрии проходят через одну точку O (задача 17.33). Если l₁ и l₂ — оси симметрии, то l₃ = S_l1(l₂) — тоже ось симметрии (см. задачу 17.24). Выберем одну из осей симметрии l нашего многоугольника. Остальные оси разбиваются на пары прямых, симметричных относительно l. Если прямая l₁, перпендикулярная l и проходящая через точку O, не является осью симметрии, то число осей симметрии нечетно. Поэтому прямая l₁ является осью симметрии. Ясно, что S_l1oS_l = R_O^180o центральная симметрия, т. е. O — центр симметрии.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	5
Название	Свойства симметрий и осей симметрии
Тема	Свойства симметрий и осей симметрии
задача
Номер	17.034