Задача 57903

Тема:    [ Композиции движений. Теорема Шаля ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.

Решение

Пусть F — движение, переводящее точку A в A', причем точки A и A' не совпадают; S симметрия относительно серединного перпендикуляра l к отрезку AA'. Тогда SoF(A) = A, т. е. A — неподвижная точка преобразования SoF. Кроме того, если X — неподвижная точка преобразования F, то AX = A'X, т. е. точка X лежит на прямой l, а значит, X — неподвижная точка преобразования SoF. Таким образом, точка A и все неподвижные точки преобразования F являются неподвижными точками преобразования SoF.
Возьмем точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, и рассмотрим их образы при данном движении G. Можно построить такие преобразования S₁, S₂ и S₃, являющиеся симметриями относительно прямых или тождественными преобразованиями, что преобразование S₃oS₂oS₁oG оставляет неподвижными точки A, B и C, т. е. оно является тождественным преобразованием E. Домножая равенство S₃oS₂oS₁oG = E слева последовательно на S₃, S₂ и S₁ и учитывая, что S_ioS_i = E, получаем G = S₁oS₂oS₃.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	6
Название	Теорема Шаля
Тема	Композиции движений. Теорема Шаля
задача
Номер	17.035