Условие
Докажите, что любое движение плоскости является
композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.
Решение
Пусть
F — движение, переводящее точку
A в
A', причем
точки
A и
A' не совпадают;
S симметрия относительно серединного
перпендикуляра
l к отрезку
AA'. Тогда
SoF(
A) =
A,
т. е.
A — неподвижная точка преобразования
SoF. Кроме того,
если
X — неподвижная точка преобразования
F, то
AX =
A'X,
т. е. точка
X лежит на прямой
l, а значит,
X — неподвижная точка
преобразования
SoF. Таким образом, точка
A и все неподвижные
точки преобразования
F являются неподвижными точками преобразования
SoF.
Возьмем точки
A,
B и
C, не лежащие на одной прямой,
и рассмотрим их образы при данном движении
G. Можно построить
такие преобразования
S1,
S2 и
S3, являющиеся симметриями
относительно прямых или тождественными преобразованиями, что
преобразование
S3oS2oS1oG оставляет неподвижными
точки
A,
B и
C, т. е. оно является тождественным преобразованием
E.
Домножая равенство
S3oS2oS1oG =
E слева последовательно
на
S3,
S2 и
S1 и учитывая, что
SioSi =
E, получаем
G =
S1oS2oS3.
Источники и прецеденты использования
