Информация о задаче

Задача 57907

Тема:

[

Композиции движений. Теорема Шаля

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Докажите, что композиция симметрий S = S_ACoS_ABoS_BC является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину 2R sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ , где R — радиус описанной окружности, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы данного треугольника.

Решение

Пусть точка A₁ симметрична точке A относительно прямой BC. Тогда S_BC(A₁) = A, а при симметриях относительно прямых AB и AC точка A остаётся на месте. Поэтому преобразование S переводит точку A₁ в A. Аналогично проверяется, что преобразование S переводит точку B в точку B₁, симметричную B относительно прямой AC.
Согласно задаче 17.37 преобразование S является скользящей симметрией. Ось этой скользящей симметрии проходит через середины отрезков AA₁ и BB₁, т.е. через основания высот AH₁ и BH₂. Длина вектора переноса равна длине проекции отрезка AH₁ на прямую H₁H₂. Угол между прямыми AH₁ и H₁H₂ равен 90^o - $\alpha$ , поэтому длина проекции отрезка AH₁ на прямую H₁H₂ равна AH₁cos(90^o - $\alpha$ ) = AH₁sin $\alpha$ = AC sin $\alpha$ sin $\gamma$ = 2R sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ .
Замечание. Если $\angle$ C = 90^o, то точки H₁ и H₂ совпадают. Тем не менее, предельное положение прямой H₁H₂ определено однозначно, поскольку эта прямая антипараллельна стороне AB.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	17
Название	Осевая симметрия
Тема	Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер	6
Название	Теорема Шаля
Тема	Композиции движений. Теорема Шаля
задача
Номер	17.037-B1