ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57907
Тема:    [ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Докажите, что композиция симметрий S = SACoSABoSBC является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину 2R sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$, где R — радиус описанной окружности, $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ — углы данного треугольника.

Решение

Пусть точка A1 симметрична точке A относительно прямой BC. Тогда SBC(A1) = A, а при симметриях относительно прямых AB и AC точка A остаётся на месте. Поэтому преобразование S переводит точку A1 в A. Аналогично проверяется, что преобразование S переводит точку B в точку B1, симметричную B относительно прямой AC.
Согласно задаче 17.37 преобразование S является скользящей симметрией. Ось этой скользящей симметрии проходит через середины отрезков AA1 и BB1, т.е. через основания высот AH1 и BH2. Длина вектора переноса равна длине проекции отрезка AH1 на прямую H1H2. Угол между прямыми AH1 и H1H2 равен 90o - $ \alpha$, поэтому длина проекции отрезка AH1 на прямую H1H2 равна AH1cos(90o - $ \alpha$) = AH1sin$ \alpha$ = AC sin$ \alpha$sin$ \gamma$ = 2R sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$.
Замечание. Если $ \angle$C = 90o, то точки H1 и H2 совпадают. Тем не менее, предельное положение прямой H1H2 определено однозначно, поскольку эта прямая антипараллельна стороне AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 17
Название Осевая симметрия
Тема Осевая и скользящая симметрии
параграф
Номер 6
Название Теорема Шаля
Тема Композиции движений. Теорема Шаля
задача
Номер 17.037-B1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .