Существует ли ломаная, пересекающая все рёбра картинки по одному разу?

   Решение

Треугольник A₁B₁C₁ получен из треугольника ABC поворотом на угол  ( < 180^o) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ (или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

   Решение

Тема:    [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Треугольник A₁B₁C₁ получен из треугольника ABC поворотом на угол  ( < 180^o) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ (или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

Решение

Пусть A и B — точки окружности с центром O, A₁ и B₁ — образы этих точек при повороте на угол  относительно центра O; P и P₁ — середины отрезков AB и A₁B₁; M — точка пересечения прямых AB и A₁B₁. Прямоугольные треугольники POM и P₁OM имеют общую гипотенузу и равные катеты PO = P₁O, поэтому эти треугольники равны и  MOP = MOP₁ = /2. Точка M получается из точки P поворотом на угол /2 и последующей гомотетией с коэффициентом 1/cos(/2) и центром O.
Точки пересечения прямых AB и A₁B₁, AC и A₁C₁, BC и B₁C₁ являются вершинами треугольника, гомотетичного с коэффициентом 1/cos(/2) треугольнику, образованному серединами сторон треугольника ABC. Ясно, что треугольник, образованный серединами сторон треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.

Источники и прецеденты использования