Информация о задаче

Задача 57966

Тема:

[

Композиции поворотов

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки P, Q и R соответственно. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников APR, BPQ и CQR образуют треугольник, подобный треугольнику ABC.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — центры описанных окружностей треугольников APR, BPQ и CQR. При последовательных поворотах с центрами A₁, B₁ и C₁ на углы 2 $\alpha$ , 2 $\beta$ и 2 $\gamma$ точка R переходит сначала в P, затем в Q, а потом возвращается на место. Так как 2 $\alpha$ + 2 $\beta$ + 2 $\gamma$ = 360^o, то композиция указанных поворотов — тождественное преобразование. Следовательно, углы треугольника A₁B₁C₁ равны $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ (см. задачу 18.40).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	4
Название	Композиции поворотов
Тема	Композиции поворотов
задача
Номер	18.044