Задача 58024

Тема:    [ Центр поворотной гомотетии ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют одну общую точку.

Решение

Пусть прямые AB и DE пересекаются в точке C, а прямые BD и AE — в точке F. Центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок ED, является точка пересечения описанных окружностей треугольников AEC и BDC, отличная от точки C (см. задачу 19.41), а центром поворотной гомотетии, переводящей AE в BD, — точка пересечения описанных окружностей треугольников ABF и EDF. Согласно задаче 19.44 центры этих поворотных гомотетий совпадают, т. е. все четыре описанные окружности имеют общую точку.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	6
Название	Центр поворотной гомотетии
Тема	Центр поворотной гомотетии
задача
Номер	19.045