Условие
На сторонах
BC,
CA и
AB треугольника
ABC
взяты точки
A1,
B1 и
C1 так, что
ABC 
A1B1C1. Пары отрезков
BB1 и
CC1,
CC1
и
AA1,
AA1 и
BB1 пересекаются в точках
A2,
B2
и
C2 соответственно. Докажите, что
описанные окружности треугольников
ABC2,
BCA2,
CAB2,
A1B1C2,
B1C1A2 и
C1A1B2 пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть
O — центр поворотной гомотетии, переводящей
треугольник
A1B1C1 в треугольник
ABC. Докажем, например, что
описанные окружности треугольников
ABC2 и
A1B1C2 проходят
через точку
O. При рассматриваемой гомотетии отрезок
AB переходит
в отрезок
A1B1, поэтому точка
O совпадает с центром поворотной
гомотетии, переводящей отрезок
AA1 в отрезок
BB1 (см. задачу
19.44).
Согласно задаче
19.41 центр последней гомотетии является второй
точкой пересечения описанных окружностей треугольников
ABC2
и
A1B1C2 (или точкой их касания).
Источники и прецеденты использования
