Задача 58032

Тема:    [ Окружность подобия трех фигур ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Условие

Пусть A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, а также A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃ — соответственные отрезки подобных фигур F₁, F₂ и F₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, подобен треугольнику, образованному прямыми A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один из этих треугольников в другой, лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃.

Решение

Пусть P₁ — точка пересечения прямых A₂B₂ и A₃B₃, P₁' — точка пересечения прямых A₂C₂ и A₃C₃; точки P₂, P₃, P₂' и P₃' определяются аналогично. При поворотной гомотетии, переводящей F₁ в F₂, прямые A₁B₁ и A₁C₁ переходят в A₂B₂ и A₂C₂, поэтому (A₁B₁, A₂B₂) = (A₁C₁, A₂C₂). Аналогичные рассуждения показывают, что P₁P₂P₃ P₁'P₂'P₃'.
Центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок P₂P₃ в P₂'P₃', лежит на описанной окружности треугольника A₁P₃P₃' (см. задачу 19.41). А так как (P₃A₁, A₁P₃') = (A₁B₁, A₁C₁) = (A₂B₂, A₂C₂) = (P₃A₂, A₂P₃'), то описанная окружность треугольника A₁P₃P₃' совпадает с описанной окружностью треугольника A₁A₂P₃. Аналогичные рассуждения показывают, что центр рассматриваемой поворотной гомотетии является точкой пересечения описанных окружностей треугольников A₁A₂P₃, A₁A₃P₂ и A₂A₃P₁; эта точка лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃ (задача 19.49, а)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	8
Название	Окружность подобия трех фигур
Тема	Окружность подобия трех фигур
задача
Номер	19.050