Задача 58064

Тема:    [ Наибольший треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что если периметры треугольников ABO, BCO, CDO и DAO равны, то ABCD — ромб.

Решение

Для определенности можно считать, что AOCO и DOBO. Пусть точки B₁ и C₁ симметричны точкам B и C относительно точки O (рис.). Так как треугольник B₁OC₁ лежит внутри треугольника AOD, то P_AODP_B1OC1 = P_BOC, причем равенство достигается, только если B₁ = D и C₁ = A (см. задачу 9.27, б)). Следовательно, ABCD — параллелограмм. Поэтому AB - BC = P_ABO - P_BCO = 0, т. е. ABCD — ромб.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	4
Название	Наибольший треугольник
Тема	Наибольший треугольник
задача
Номер	20.018