Условие
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на
два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3.
Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых
проходят через одну точку.
Решение
Данные прямые не могут пересекать соседние стороны
квадрата
ABCD, так как иначе образуются не два четырехугольника,
а треугольник и пятиугольник. Пусть прямая пересекает стороны
BC и
AD в точках
M и
N. Трапеции
ABMN и
CDNM имеют
равные высоты, поэтому их площади относятся как средние линии,
т. е.
MN делит отрезок, соединяющий середины сторон
AB и
CD,
в отношении 2 : 3. Точек, делящих средние линии квадрата в отношении 2 : 3, имеется ровно четыре. Так как данные девять
прямых проходят через эти четыре точки, то через одну из точек проходят
по крайней мере три прямые.
Источники и прецеденты использования
