Условие
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на
два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3.
Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых
проходят через одну точку.
Решение
Данные прямые не могут пересекать соседние стороны
квадрата ABCD, так как иначе образуются не два четырехугольника,
а треугольник и пятиугольник. Пусть прямая пересекает стороны
BC и AD в точках M и N. Трапеции ABMN и CDNM имеют
равные высоты, поэтому их площади относятся как средние линии,
т. е. MN делит отрезок, соединяющий середины сторон AB и CD,
в отношении 2 : 3. Точек, делящих средние линии квадрата в отношении 2 : 3, имеется ровно четыре. Так как данные девять
прямых проходят через эти четыре точки, то через одну из точек проходят
по крайней мере три прямые.
Источники и прецеденты использования
