Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, не обязательно положительное. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше k.

Решение

Предположим, что сумма длин хорд не меньше k, и докажем, что тогда найдется диаметр, пересекающий по крайней мере k + 1 хорду. Так как длина дуги, стягиваемой хордой, больше длины этой хорды, то сумма длин дуг, стягиваемых данными хордами, больше k. Если мы к этим дугам добавим еще и дуги, симметричные им относительно центра окружности, то сумма длин всех рассматриваемых дуг будет больше 2k. Поэтому найдется точка, которую покрывает по крайней мере k + 1 из этих дуг. Диаметр, проведенный через эту точку, пересекает по крайней мере k + 1 хорду.

Замечания

Источники и прецеденты использования