Задача 58096

Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.

Решение

Пусть l₁ — произвольная прямая, перпендикулярная l. Обозначим длины проекций i-го отрезка на прямые l и l₁ через a_i и b_i соответственно. Так как длина каждого отрезка равна 1, то a_i + b_i1. Поэтому (a₁ +...+ a_4n) + (b₁ +...+ b_4n)4n. Пусть для определенности a₁ +...+ a_4nb₁ +...+ b_4n. Тогда a₁ +...+ a_4n2n. Все данные отрезки проецируются на отрезок длиной 2n, так как они лежат внутри окружности радиуса n. Если бы проекции данных отрезков на прямую l не имели общих точек, то выполнялось бы неравенство a₁ +...+ a_4n < 2n. Поэтому на l есть точка, в которую проецируются точки по крайней мере двух данных отрезков. Перпендикуляр к l, проведенный через эту точку, пересекает по крайней мере два данных отрезка.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	2
Название	Углы и длины
Тема	Принцип Дирихле (углы и длины)
задача
Номер	21.017