Информация о задаче

Задача 58100

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по k дуг, угловые величины каждой из которых меньше ${\frac{1}{k^2-k+1}}$ ^.180^o, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.

Решение

Совместим данные окружности и посадим в фиксированную точку одной из них маляра. Будем вращать эту окружность и поручим маляру красить ту точку окружности, мимо которой он проезжает, всякий раз, когда пересекаются какие-либо отмеченные дуги. Нужно доказать, что после полного оборота часть окружности останется неокрашенной. Конечный результат работы маляра будет такой же, как если бы ему поручили на i-м обороте красить окружность, когда i-я отмеченная дуга окружности, на которой сидит маляр, пересекается с какой-либо отмеченной дугой другой окружности, и сделали бы k оборотов.
Пусть $\varphi_{1}^{}$ ,..., $\varphi_{n}^{}$ — угловые величины отмеченных дуг. По условию $\varphi_{1}^{}$ < $\alpha$ ,..., $\varphi_{n}^{}$ < $\alpha$ , где $\alpha$ = 180^o/(k² - k + 1). За то время, пока пересекаются отмеченные дуги с номерами i и j, маляр окрашивает дугу величиной $\varphi_{i}^{}$ + $\varphi_{j}^{}$ . Поэтому сумма угловых величин дуг, окрашенных маляром на i-м обороте, не превосходит k $\varphi_{i}^{}$ + ( $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{k}^{}$ ), а сумма угловых величин дуг, окрашенных за все k оборотов, не превосходит 2k( $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{k}^{}$ ). Заметим, что при этом пересечение дуг с одинаковыми номерами мы учли фактически k раз. В частности, точка A, мимо которой проезжает маляр в тот момент, когда совпадают отмеченные дуги, заведомо покрашена k раз. Поэтому целесообразно выбросить из рассмотрения те дуги окружности, которые маляр красит в моменты пересечения каких-либо отмеченных дуг с одинаковыми номерами. Так как все эти дуги содержат точку A, то фактически мы выбросили только одну дугу, причем угловая величина этой дуги не превосходит 2 $\alpha$ . Сумма угловых величин оставшейся части дуг, окрашенных на i-м обороте, не превосходит (k - 1) $\varphi_{1}^{}$ + ( $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{k}^{}$ - $\varphi_{i}^{}$ ), а сумма угловых величин оставшейся части дуг, окрашенных за все k оборотов, не превосходит (2k - 2)( $\varphi_{1}^{}$ +...+ $\varphi_{k}^{}$ ) < (2k² - 2k) $\alpha$ . Часть окружности останется неокрашенной, если выполняется неравенство (2k²-2k) $\alpha$ $\le$ 360^o - 2 $\alpha$ , т. е. $\alpha$ $\le$ 180^o/(k² - k + 1).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	2
Название	Углы и длины
Тема	Принцип Дирихле (углы и длины)
задача
Номер	21.021