Задача 58101

Темы:    [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.

Решение

Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, удаленных от квадратика со стороной 1 на расстояние не больше 1 (рис.). Ясно, что круг радиуса 1, центр которого расположен вне этой фигуры, не пересекается с квадратиком. Площадь такой фигуры равна + 5. Центр нужного круга должен также находиться на расстоянии больше 1 от сторон большого квадрата, т. е. внутри квадрата со стороной 13. Ясно, что 20 фигур площадью + 5 не могут покрыть квадрат со стороной 13, так как 20( + 5) < 13². Круг с центром в непокрытой точке обладает требуемым свойством.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	3
Название	Площадь
Тема	Принцип Дирихле (площадь и объем)
задача
Номер	21.022