Попарные расстояния между точками A₁,..., A_n больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше , можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек A₁,..., A_n.

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Попарные расстояния между точками A₁,..., A_n больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше , можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек A₁,..., A_n.

Решение

Пусть  — данная фигура, S₁,..., S_n — круги радиуса 1 с центрами в точках A₁,..., A_n. Так как круги S₁,..., S_n попарно не пересекаются, то фигуры V_i = S_i попарно не пересекаются, а значит, сумма их площадей не превосходит площади фигуры , т. е. она меньше . Пусть O — произвольная точка и W_i — образ фигуры V_i при переносе на вектор . Фигуры W_i лежат внутри круга S радиуса 1 с центром O и сумма их площадей меньше площади этого круга. Поэтому некоторая точка B круга S не принадлежит ни одной из фигур W_i. Ясно, что перенос на вектор искомый.

Источники и прецеденты использования