Задача 58105

Темы:    [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10

Условие

В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежит не менее 10 из данных точек.

Решение

Заметим сначала, что точка X принадлежит кольцу с центром O тогда и только тогда, когда точка O принадлежит такому же кольцу с центром X. Поэтому достаточно доказать, что если построить кольца с центрами в данных точках, то одну из точек рассматриваемого круга покроет не менее 10 колец. Рассматриваемые кольца лежат внутри круга радиуса 16 + 3 = 19, площадь которого равна 361. Остается заметить, что 9 ^. 361 = 3249, а суммарная площадь колец равна 650 ^. 5 = 3250.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	21
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле
параграф
Номер	3
Название	Площадь
Тема	Принцип Дирихле (площадь и объем)
задача
Номер	21.026