Версия для печати
Убрать все задачи

---

У золотоискателя есть куча золотого песка массой 37 кг (и больше песка у него нет), двуxчашечные весы и две гири 1 и 2 кг. Золотоискатель умеет делать действия двух типов:

уравнивать весы, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может пересыпать часть песка с одной чаши на другую так, чтобы весы встали в равновесие;

досыпать до равновесия, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может добавить песка на одну из чаш так, чтобы весы встали в равновесие.

Конечно, каждое из этих действий он может сделать только если для этого у него хватает песка.

Как ему за два действия с весами получить кучку, в которой ровно 26 кг песка? Смешать две кучки песка, а также просто ставить что-то на весы действием не считается.

   Решение

---

Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?

   Решение

---

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\Bigl(1-\frac{2}{f(1)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(2)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(3)}\Bigr)\ldots\Bigl(1-\frac2{f(2019)}\Bigr).$$

   Решение

---

Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения  x³ + ax² + 18 = 0,   x³ + bx + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

   Решение

---

Даны 10 натуральных чисел, не превышающих 91. Докажите, что отношение некоторых двух из этих чисел принадлежит отрезку  [²/₃, ³/₂].

   Решение

---

На трёх красных и трёх синих карточках написаны шесть положительных чисел, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то трёх чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же трёх чисел. Всегда ли можно гарантированно определить эти три числа?

   Решение

---

Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.

   Решение

Тема:    [ Инварианты ]

Сложность: 7 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.

Решение

Предположим, что выпуклый многоугольник M разрезан на невыпуклые четырехугольники M₁,..., M_n. Каждому многоугольнику N поставим в соответствие число f (N), равное разности между суммой его внутренних углов, меньших 180^o, и суммой углов, дополняющих до 360^o его углы, большие 180^o. Сравним числа A = f (M) и  B = f (M₁) +...+ f (M_n). Рассмотрим для этого все точки, являющиеся вершинами четырехугольников M₁,..., M_n. Их можно разбить на четыре типа.
1. Вершины многоугольника M. Эти точки дают одинаковые вклады в A и B.
2. Точки на сторонах многоугольника M или M_i. Вклад каждой такой точки в B на 180^o больше, чем в A.
3. Внутренние точки многоугольника, в которых сходятся углы четырехугольника, меньшие 180^o. Вклад каждой такой точки в B на 360^o больше, чем в A.
4. Внутренние точки многоугольника M, в которых сходятся углы четырехугольников, причем один из них больше 180^o. Такие точки дают нулевые вклады в A и B.
В итоге получаем AB. С другой стороны, A > 0, а B = 0. Неравенство A > 0 очевидно, а для доказательства равенства B = 0 достаточно проверить, что если N — невыпуклый четырехугольник, то f (N) = 0. Пусть углы N равны . У любого невыпуклого четырехугольника ровно один угол больше 180^o, поэтому f (N) = + + - (360^o - ) = + + + - 360^o = 0^o.
Получено противоречие, поэтому выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.

Источники и прецеденты использования