Информация о задаче

Задача 58214

Тема:

[

Целочисленные решетки (прочее)

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

Решение

Докажем сначала, что уравнение x² + y² = 5^k имеет ровно 4(k + 1) целочисленных решений. При k = 0 и k = 1 это утверждение очевидно. Докажем, что уравнение x² + y² = 5^k имеет ровно восемь таких решений (x, y), что x и y не делятся на 5; вместе с 4(k - 1) решениями вида (5a, 5b), где a и b — решение уравнения a² + b² = 5^{k - 2}, они дают нужное количество решений. Эти решения получаются друг из друга перестановками x и y и изменениями знаков; мы будем называть их нетривиальными решениями.
Пусть x² + y² делится на 5. Тогда (x + 2y)(x - 2y) = x² + y² - 5y² тоже делится на 5. Поэтому одно из чисел x + 2y и x - 2y делится на 5. Легко проверить также, что если x + 2y и x - 2y делятся на 5, то x и y делятся на 5.
Если (x, y) — нетривиальное решение уравнения x² + y² = 5^k, то (x + 2y, 2x - y) и (x - 2y, 2x + y) — решения уравнения $\xi^{2}_{}$ + $\eta^{2}_{}$ = 5^{k + 1}, причем ровно одно из них нетривиально. Остается доказать, что нетривиальное решение единственно с точностью до перестановки x и y и изменения знаков. Пусть (x, y) — нетривиальное решение уравнения x² + y² = 5^k. Тогда как пары $\Bigl($ ± ${\frac{2x-y}{5}}$ ,± ${\frac{x+2y}{5}}$ $\Bigr)$ и $\Bigl($ ± ${\frac{x+2y}{5}}$ , ± ${\frac{2x-y}{5}}$ $\Bigr)$ , так и пары $\Bigl($ ± ${\frac{2x+y}{5}}$ ,± ${\frac{x-2y}{5}}$ $\Bigr)$ и $\Bigl($ ± ${\frac{x-2y}{5}}$ ,± ${\frac{2x+y}{5}}$ $\Bigr)$ являются решениями уравнения $\xi^{2}_{}$ + $\eta^{2}_{}$ = 5^{k - 1}, но целочисленными будут пары ровно одного из этих видов, так как ровно одно из чисел x + 2y и x - 2y делится на 5. При этом мы получим нетривиальное решение, потому что (x + 2y)(x - 2y) = (x² + y²) - 5y² при k $\ge$ 2 делится на 5, но не делится на 25. Таким образом, каждое из восьми нетривиальных решений уравнения x² + y² = 5^k дает восемь нетривиальных решений уравнения $\xi^{2}_{}$ + $\eta^{2}_{}$ = 5^{k - 1}, причем для одной половины решений нужно воспользоваться формулами первого вида, а для другой половины решений — формулами второго вида.
Перейдем теперь непосредственно к решению задачи. Пусть n = 2k + 1. Докажем, что на окружности радиуса 5^k/3 с центром (1/3, 0) лежит ровно n целочисленных точек. Уравнение x² + y² = 5^2k имеет 4(2k + 1) целочисленных решений. Кроме того, 5^2k при делении на 3 дает остаток 1, поэтому одно из чисел x и y делится на 3, а другое при делении на 3 дает остаток ±1. Следовательно, ровно в одной из пар (x, y), (x, - y), (y, x) и (- y, x) первое и второе числа дают при делении на 3 остатки -1 и 0 соответственно. Поэтому уравнение (3z - 1)² + (3t)² = 5^2k имеет ровно 2k + 1 целочисленных решений.
Пусть n = 2k. Докажем, что на окружности радиуса 5^{(k - 1)/2}/2 с центром (1/2, 0) лежит ровно n целочисленных точек. Уравнение x² + y² = 5^{k - 1} имеет ровно 4k целочисленных решений, причем одно из чисел x и y четно, а другое нечетно. Поэтому уравнение (2z - 1)² + (2t)² = 5^{k - 1} имеет ровно 2k целочисленных решений.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	3
Название	Разные задачи
Тема	Целочисленные решетки (прочее)
задача
Номер	24.012