Информация о задаче

Задача 58216

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса $\sqrt{n^2+1}$ с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < ${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$ , то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.

Решение

а) Пусть охотник находится в точке O, а заяц — в точке A; A₁ — точка, симметричная A относительно O. Рассмотрим фигуру $\Phi$ , содержащую все точки, расстояние от которых до отрезка AA₁ не превосходит r (рис.). Достаточно доказать, что $\Phi$ содержит хотя бы один узел решетки (если узел попадает в заштрихованную часть, то точка A принадлежит стволу дерева).
Площадь $\Phi$ равна 4rh + $\pi$ r², где h — расстояние от охотника до зайца. Если h > 1/r, то 4rh + $\pi$ r² > 4. По теореме Минковского $\Phi$ содержит целочисленную точку.
б) Рассмотрим прямоугольник с вершинами (0, 0), (0, 1), (n, 1) и (n, 0). Покажем, что из начала координат можно увидеть точку (n, 1). Действительно, расстояния от точек (1, 0) и (n - 1, 1) до прямой, проходящей через точки (0, 0) и (n, 1), равно ${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$ . Поэтому деревья, растущие в этих точках, не пересекают указанную прямую. Остальные деревья ее тем более не пересекают.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	4
Название	Вокруг теоремы Минковского
Тема	Теорема Минковского
задача
Номер	24.009