ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 58215

 [Теорема Минковского]
Тема:   [ Теорема Минковского ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58216

Тема:   [ Теорема Минковского ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса $ \sqrt{n^2+1}$ с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < $ {\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$, то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58217

Тема:   [ Теорема Минковского ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p нет точек целочисленной решётки. Докажите, что S$ \le$p.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58218

Тема:   [ Теорема Минковского ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Выпуклая фигура $ \Phi$ имеет площадь S и полупериметр p. Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то $ \Phi$ содержит по крайней мере n целочисленных точек.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58219

Тема:   [ Теорема Минковского ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n > S - p.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .