ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58217
Тема:    [ Теорема Минковского ]
Сложность: 7
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p нет точек целочисленной решётки. Докажите, что S$ \le$p.

Решение

Прежде всего докажем, что если внутри выпуклой фигуры $ \Phi$ с площадью S и полупериметром p нет точек целочисленной решётки, то существует выпуклая фигура $ \Phi{^\prime}$ с площадью S' = S и полупериметром p'$ \le$p, внутри которой нет точек целочисленной решётки и которая симметрична относительно прямых x = 1/2 и y = 1/2. Затем для фигуры $ \Phi{^\prime}$ мы докажем, что S'$ \le$p'.
Фигура $ \Phi{^\prime}$ строится по фигуре $ \Phi$ следующим образом. Сначала мы берём симметризацию по Штейнеру фигуры $ \Phi$ относительно прямой x = 1/2, а затем для полученной фигуры рассматриваем симметризацию по Штейнеру относительно прямой y = 1/2. При симметризации по Штейнеру снова получается выпуклая фигура (задача 22.12B), её площадь не изменяется, а периметр не увеличивается (задача 22.12B1). Предположим, что промежуточная фигура содержит целочисленную точку (m, n). Эта фигура симметрична относительно прямой x = 1/2, поэтому она содержит точку (- m + 1, n). Следовательно, прямая y = n пересекает фигуру $ \Phi$ по отрезку, длина которого не меньше | 2m - 1|$ \ge$1. Но тогда фигура $ \Phi$ должна содержать целочисленную точку. Приходим к противоречию. Аналогично доказывается, что фигура $ \Phi{^\prime}$ не содержит целочисленных точек.
Докажем теперь, что S'$ \le$p'. Для этого рассмотрим два случая.
1. Фигура $ \Phi{^\prime}$ не содержит точек (x, y), для которых x > 3/2 или y > 3/2. Тогда фигура $ \Phi{^\prime}$ целиком содержится в фигуре, заштрихованной на рис. Нужно лишь объяснить, почему от квадрата со стороной 2 отрезаны угловые квадратики со стороной 1/2. Это связано с тем, что если для любой точки углового квадратика рассмотреть ещё точки, симметричные ей относительно прямых x = 1/2 и y = 1/2 и относительно точки (1/2, 1/2), то выпуклая оболочка этих четырёх точек будет содержать целочисленные точки (например, начало координат). Таким образом, S'$ \le$3. Поэтому согласно изопериметрическому неравенству S'/p'$ \le$$ \sqrt{S'/\pi}$$ \le$$ \sqrt{3/\pi}$ < 1.


2. Фигура $ \Phi{^\prime}$ содержит точку (x, y), для которой x > 3/2 или y > 3/2. Пусть для определённости наибольшая координата x точек фигуры $ \Phi{^\prime}$ равна a > 3/2. Рассмотрим точку (a, b) фигуры $ \Phi{^\prime}$ с наибольшей координатой y. Ясно, что b < 1, поскольку иначе прямоугольник с вершинами (a, b), (- a + 1, b), (- a + 1, - b + 1), (a, - b + 1) содержал бы целочисленные точки. Часть фигуры $ \Phi{^\prime}$, состоящая из точек (x, y), для которых x$ \ge$1/2 и y$ \ge$1/2, принадлежит трапеции, заштрихованной на рис., поэтому площадь этой части не превосходит $ {\frac{1}{2}}$$ \left(\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right.$a - $ {\frac{1}{2}}$$ \left.\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right)$. Следовательно, S'$ \le$2$ \left(\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right.$a - $ {\frac{1}{2}}$$ \left.\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right)$. Ясно также, что p'$ \ge$2$ \left(\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right.$a - $ {\frac{1}{2}}$$ \left.\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right)$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 24
Название Целочисленные решетки
Тема Целочисленные решетки
параграф
Номер 4
Название Вокруг теоремы Минковского
Тема Теорема Минковского
задача
Номер 24.010B-

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .