Условие
Внутри выпуклой фигуры с площадью
S и полупериметром
p нет точек
целочисленной решётки. Докажите, что
S
p.
Решение
Прежде всего докажем, что если внутри выпуклой фигуры

с площадью
S и
полупериметром
p нет точек целочисленной решётки, то существует выпуклая
фигура

с площадью
S' =
S и полупериметром
p'
p, внутри которой нет
точек целочисленной решётки и которая симметрична относительно прямых
x = 1/2 и
y = 1/2. Затем для фигуры

мы докажем, что
S'
p'.
Фигура

строится по фигуре

следующим образом. Сначала мы берём
симметризацию по Штейнеру фигуры

относительно прямой
x = 1/2, а затем
для полученной фигуры рассматриваем симметризацию по Штейнеру относительно
прямой
y = 1/2. При симметризации по Штейнеру снова получается выпуклая фигура
(задача
22.12B), её площадь не изменяется, а периметр не увеличивается
(задача
22.12B1). Предположим, что промежуточная фигура содержит
целочисленную точку (
m,
n). Эта фигура симметрична относительно прямой
x = 1/2, поэтому она содержит точку (-
m + 1,
n). Следовательно, прямая
y =
n
пересекает фигуру

по отрезку, длина которого не меньше
| 2
m - 1|

1. Но
тогда фигура

должна содержать целочисленную точку. Приходим к
противоречию. Аналогично доказывается, что фигура

не содержит
целочисленных точек.
Докажем теперь, что
S'
p'. Для этого рассмотрим два случая.
1. Фигура

не содержит точек (
x,
y), для которых
x > 3/2 или
y > 3/2.
Тогда фигура

целиком содержится в фигуре, заштрихованной на рис.
Нужно лишь объяснить, почему от квадрата со стороной 2 отрезаны угловые
квадратики со стороной 1/2. Это связано с тем, что если для любой точки
углового квадратика рассмотреть ещё точки, симметричные ей относительно прямых
x = 1/2 и
y = 1/2 и относительно точки (1/2, 1/2), то выпуклая оболочка этих
четырёх точек будет содержать целочисленные точки (например, начало координат).
Таким образом,
S'
3. Поэтому согласно изопериметрическому неравенству
S'/
p'



< 1.
2. Фигура

содержит точку (
x,
y), для которой
x > 3/2 или
y > 3/2.
Пусть для определённости наибольшая координата
x точек фигуры

равна
a > 3/2. Рассмотрим точку (
a,
b) фигуры

с наибольшей координатой
y.
Ясно, что
b < 1, поскольку иначе прямоугольник с вершинами (
a,
b), (-
a + 1,
b),
(-
a + 1, -
b + 1), (
a, -
b + 1) содержал бы целочисленные точки. Часть фигуры

, состоящая из точек (
x,
y), для которых
x
1/2 и
y
1/2,
принадлежит трапеции, заштрихованной на рис., поэтому площадь этой части не
превосходит

a -


. Следовательно,
S'
2
a -


. Ясно также, что
p'
2
a -


.
Источники и прецеденты использования