Условие
Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n
узлов решетки. Докажите, что n > S - p.
Решение
Рассмотрим целочисленную решетку, заданную уравнениями x = k + 1/2
и y = l + 1/2, где k и l — целые числа. Докажем, что
каждый квадрат этой решетки дает неотрицательный вклад в величину
n - S + p. Рассмотрим два случая.
1. Фигура содержит центр квадрата. Тогда n' = 1 и S'
1, поэтому
n' - S' + p'
0.
2. Фигура пересекает квадрат, но не содержит его центр. Докажем,
что в этом случае S'p'. Если фигура целиком лежит в этом квадрате, то
согласно изопериметрическому неравенству
S'/p'
< 1. Если рассматриваемая часть фигуры
ограничена стороной квадрата и некоторой кривой, то согласно
задаче 22.BIs15a
S'/p'
< 1.
Поэтому остаётся рассмотреть случаи, когда
рассматриваемая часть фигуры ограничена сторонами квадрата и кривой,
соединяющей либо противоположные, либо смежные стороны квадрата. При этом можно
считать, что центр O квадрата лежит на границе фигуры (рис.).
Действительно, для кривой, соединяющей противоположные стороны, можно применить
параллельный перенос, а для кривой, соединяющей смежные стороны, — гомотетию
с центром в их общей вершине. В обоих случаях отношение S'/p' увеличится.
Так как расстояния от центра квадрата до его сторон равны 1/2, то
p'1/2. Проведя через точку O опорную прямую к данной фигуре, получим,
что
S'1/2.
Ясно также, что все вклады квадратов не могут быть одновременно нулевыми.
Источники и прецеденты использования
