Задача 58219

Тема:    [ Теорема Минковского ]

Сложность: 7 Классы: 9,10

Условие

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n > S - p.

Решение

Рассмотрим целочисленную решетку, заданную уравнениями x = k + 1/2 и y = l + 1/2, где k и l — целые числа. Докажем, что каждый квадрат этой решетки дает неотрицательный вклад в величину n - S + p. Рассмотрим два случая.
1. Фигура содержит центр квадрата. Тогда n' = 1 и S'1, поэтому n' - S' + p' 0.
2. Фигура пересекает квадрат, но не содержит его центр. Докажем, что в этом случае S'p'. Если фигура целиком лежит в этом квадрате, то согласно изопериметрическому неравенству S'/p' < 1. Если рассматриваемая часть фигуры ограничена стороной квадрата и некоторой кривой, то согласно задаче 22.BIs15a S'/p' < 1. Поэтому остаётся рассмотреть случаи, когда рассматриваемая часть фигуры ограничена сторонами квадрата и кривой, соединяющей либо противоположные, либо смежные стороны квадрата. При этом можно считать, что центр O квадрата лежит на границе фигуры (рис.). Действительно, для кривой, соединяющей противоположные стороны, можно применить параллельный перенос, а для кривой, соединяющей смежные стороны, — гомотетию с центром в их общей вершине. В обоих случаях отношение S'/p' увеличится.
Так как расстояния от центра квадрата до его сторон равны 1/2, то p'1/2. Проведя через точку O опорную прямую к данной фигуре, получим, что S'1/2.
Ясно также, что все вклады квадратов не могут быть одновременно нулевыми.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	4
Название	Вокруг теоремы Минковского
Тема	Теорема Минковского
задача
Номер	24.010