Условие
Докажите, что следующие свойства выпуклого многоугольника F
эквивалентны: 1) F имеет центр симметрии;
2) F можно разрезать на параллелограммы.
Решение
Рассмотрим выпуклый многоугольник
A1...An. Докажем,
что каждое из свойств 1 и 2 эквивалентно свойству 3: "Для любого
вектора
найдется вектор
= -
."
Ясно, что из свойства 1 следует свойство 3. Докажем, что из
свойства 3 следует свойство 1. Если выпуклый многоугольник
A1...An обладает свойством 3, то n = 2m и
= -
. Пусть Oi — середина отрезка
AiAm + i. Так как
AiAi + 1Am + iAm + i + 1 —
параллелограмм, то
Oi = Oi + 1. Поэтому все точки Oi совпадают,
и эта точка является центром симметрии многоугольника.
Докажем, что из свойства 2 следует свойство 3. Пусть выпуклый
многоугольник F разрезан на параллелограммы. Нужно доказать, что
для любой стороны многоугольника F найдется другая сторона,
параллельная и равная ей. От каждой стороны многоугольника F
отходит цепочка параллелограммов, т. е. эта
сторона как бы
перемещается по ним параллельно, причем она может разбиваться на
несколько частей (рис.). Так как у выпуклого многоугольника может
быть еще только одна сторона, параллельная данной, то все
разветвления цепочки упираются в одну и ту же сторону, причем ее
длина не меньше длины стороны, из которой цепочка выходит. Мы
можем выпустить цепочку параллелограммов как из первой стороны во
вторую, так и из второй в первую, поэтому длины этих сторон равны.
Остается доказать, что из свойства 3 следует свойство 2. Способ
разрезания многоугольника с равными и параллельными противоположными
сторонами указан на рис. После каждой такой
операции получаем многоугольник с меньшим числом сторон,
по-прежнему обладающий свойством 3, и проделываем с ним то
же самое, пока не придем к параллелограмму.


Источники и прецеденты использования