Условие
Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан
на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по
крайней мере два прямоугольника, причем сумма площадей
всех прямоугольников равна 2.
Решение
Выделим в правильном восьмиугольнике две взаимно перпендикулярные
пары противоположных сторон и рассмотрим, как и в задаче 25.1,
цепочки параллелограммов, соединяющие противоположные стороны.
На пересечениях этих цепочек стоят прямоугольники. Рассмотрев две
другие пары противоположных сторон, получим еще хотя бы один
прямоугольник.
Параллелограммы каждой цепочки можно дополнительно разрезать так,
чтобы цепочка распалась на несколько к дорожекк, причем
в каждой дорожке соседние параллелограммы примыкали бы друг
к другу целыми сторонами, а не частями сторон. Объединение
прямоугольников нового разбиения совпадает с объединением
прямоугольников исходного разбиения, поэтому доказательство достаточно
провести для нового разбиения. Каждая дорожка имеет постоянную
ширину; значит, длина одной стороны каждого прямоугольника,
входящего в дорожку, равна ширине дорожки, а сумма длин всех
других сторон равна сумме всех ширин дорожек, соответствующих
второй паре сторон. Следовательно, площадь всех прямоугольников,
входящих в одну дорожку, равна произведению ширины дорожки
на длину стороны многоугольника, т. е. численно равна ширине
дорожки. Поэтому площадь всех прямоугольников, соответствующих
двум перпендикулярным парам противоположных сторон, равна 1,
а площадь вообще всех прямоугольников равна 2.
Источники и прецеденты использования
