Докажите, что l_al_bl_crp².

   Решение

В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. В области, ограниченной отрезками AB, AC и меньшей дугой BC, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает AB.

   Решение

Тема:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + ((P) - 1), причем среди этих частей 2n неограниченных.

Решение

Доказательство проведем индукцией по n. Для двух прямых утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для n - 1 прямых, и рассмотрим систему, состоящую из n прямых. Пусть f — количество частей, на которые данные n прямых разбивают плоскость; g = 1 + n + ((P) - 1). Выбросим из данной системы одну прямую и для полученной системы прямых определим аналогичным образом числа f' и g'. Если на выброшенной прямой лежит k точек пересечения прямых, то f' = f - k - 1 и  g' = 1 + (n - 1) + ((P) - 1). Легко проверить, что ((P) - 1) = - k + ((P) - 1). По предположению индукции f' = g'. Поэтому f = f' + k + 1 = g' + k + 1 = g. Ясно также, что количество неограниченных частей равно 2n.

Источники и прецеденты использования