Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде
  a)  x² + y²;   б)  x² + y² + z²  ; в)  x³ + y³ + z³.

   Решение

Доказать, что уравнение  m² + n² = 1980  не имеет решений в целых числах.

   Решение

На плоскости расположено n5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

   Решение

Тема:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 5+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости расположено n5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

Решение

Пусть A — общая точка первых трех окружностей S₁, S₂ и S₃. Обозначим точки пересечения окружностей S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₁ через B, C, D соответственно. Предположим, что существует окружность S, не проходящая через точку A. Тогда окружность S проходит через точки B, C и D. Пусть S' — пятая окружность. Каждая пара точек из набора A, B, C, D является парой точек пересечения двух из окружностей S₁, S₂, S₃, S. Поэтому окружность S' проходит через одну точку из каждой пары точек A, B, C, D. С другой стороны, окружность S' не может проходить через три точки из A, B, C, D, поскольку каждая тройка этих точек задает одну из окружностей S₁, S₂, S₃, S. Поэтому окружность S' не проходит через какие-то две из этих точек. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования