В треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, H – ортоцентр. Через середину OH параллельно BC проведена прямая, пересекающая стороны AB и AC в точках D и E. Оказалось, что O – центр вписанной окружности треугольника ADE. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?

   Решение

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?

Решение

Да, существуют. Пусть C — середина отрезка AB. Тогда XC² = (2XA² + 2XB² - AB²)/2. Если число AB² иррационально, то числа XA, XB и XC не могут одновременно быть рациональными.

Источники и прецеденты использования