У Вики есть четыре фигурки, у Алины есть квадрат, а у Полины есть квадрат другого размера. Объединившись, Алина и Вика могут сложить квадрат, используя все свои пять фигурок. Может ли оказаться так, что Полина и Вика также смогут сложить квадрат, используя все свои пять фигурок? (Квадраты складываются без просветов и наложений.)

   Решение

В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?

   Решение

Задан массив натуральных чисел P[1:n]. Найти минимальное натуральное число, не представимое суммой никаких элементов массива P. Сумма может состоять и из одного слагаемого, но каждый элемент массива может входить в неё только один раз.

   Решение

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На прямой даны точки A₁, ..., A_n и B₁, ..., B_n–1. Докажите, что     = 1.

Решение

  Индукция по n. База  (n = 2).  Так как   + + = , то / + /  = 1.
  Шаг индукции. Фиксируем точки A₁, ..., A_n и B₁, ..., B_n–2, а точку B_n–1 будем считать переменной. Рассмотрим функцию   f(B_n–1) =  .   Эта функция линейна, причём по предположению индукции  f(B_n–1) = 1, если B_n–1 совпадает с одной из точек A₁, ..., A_n. Следовательно, эта функция тождественно равна 1.

Источники и прецеденты использования