Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

   Решение

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 7 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

Решение

Воспользуемся обозначениями задачи 7.16. Докажем, что при инверсии относительно описанной окружности окружность S_a переходит в себя. Это эквивалентно тому, что описанная окружность ортогональна окружности S_a, т.е. при инверсии относительно окружности S_a описанная окружность переходит в себя. При инверсии относительно окружности S_a точка A переходит в себя, поэтому достаточно проверить, что точка B переходит в точку C, т.е. OB ^. OC = OD², где O — середина отрезка DE. Пусть для определенности b < c. Тогда OD = + = , OB = OD + DB = и OC = .

Источники и прецеденты использования