Условие
В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей,
и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая.
Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу
3.44).
Решение
Пусть
S1 и
S2 — окружности, вписанные в сегмент;
M,
N — их точки пересечения (рис.). Покажем, что прямая
MN
проходит через точку
P окружности сегмента, равноудаленную от его
концов
A и
B. Действительно, согласно предыдущей задаче инверсия с центром
P и степенью
PA2 переводит отрезок
AB в дугу
AB,
а окружности
S1 и
S2 — в окружности
S1* и
S2*,
по-прежнему вписанные в сегмент. Но касательные к
S1, проведенные
из
P, касаются также и
S1*, поэтому
S1* =
S1 (так как обе
эти окружности одинаковым образом касаются трех фиксированных прямых).
Аналогично
S2* =
S2, следовательно, точки
M и
N меняются
местами при инверсии, т. е.
M* =
N и прямая
MN проходит через
центр инверсии.
Источники и прецеденты использования
