ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56701
Тема:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной для данного сегмента дуги AB.

Решение

Пусть O1 и O2 — центры вписанных окружностей, CP и CQ — касательные к ним. Тогда  CO12 = CP2 + PO12 = CP2 + O1M2 и, так как CQ = CA = CP (задача 3.42, б)),  CO22 = CQ2 + QO22 = CP2 + O2M2. Следовательно,  CO12 - CO22 = MO12 - MO22, а значит, прямая CM перпендикулярна O1O2 (см. задачу 7.6). Поэтому прямая MN проходит через точку C.
Замечание. Если окружности не пересекаются, а касаются, утверждение остается верным; в этом случае прямую MN нужно заменить на касательную к окружностям в их общей точке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 8
Название Окружности, вписанные в сегмент
Тема Окружности, вписанные в сегмент
задача
Номер 03.044

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .