Условие
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из
его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот
пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.
Решение
Пусть
ABCDE — правильный пятиугольник. Согласно задаче
29.6, б) существует аффинное преобразование, которое три
последовательные вершины данного пятиугольника переводит в точки
A,
B,
C. Пусть
D' и
E' — образы остальных двух
вершин при этом преобразовании. Докажем, что они совпадают с
D
и
E.
С одной стороны,
AD'|
BC и
CE'|
AB, поэтому точка
D'
лежит на прямой
AD, а точка
E' — на прямой
CE. С другой
стороны,
E'D'|
AC|
ED, поэтому если бы точки
D' и
E' не
совпадали с точками
D и
E, то либо они обе были бы вне
полосы, ограниченной прямыми
AE и
BD (рис.,
а), либо обе
внутри этой полосы (рис.,
б). В обоих случаях прямые
AE' и
BD' не были бы параллельны.
Источники и прецеденты использования
