Условие
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из
его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот
пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.
Решение
Пусть ABCDE — правильный пятиугольник. Согласно задаче
29.6, б) существует аффинное преобразование, которое три
последовательные вершины данного пятиугольника переводит в точки
A, B, C. Пусть D' и E' — образы остальных двух
вершин при этом преобразовании. Докажем, что они совпадают с D
и E.
С одной стороны, AD'| BC и CE'| AB, поэтому точка D'
лежит на прямой AD, а точка E' — на прямой CE. С другой
стороны,
E'D'| AC| ED, поэтому если бы точки D' и E' не
совпадали с точками D и E, то либо они обе были бы вне
полосы, ограниченной прямыми AE и BD (рис., а), либо обе
внутри этой полосы (рис., б). В обоих случаях прямые AE' и
BD' не были бы параллельны.
Источники и прецеденты использования
