Задача 58374

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что любой выпуклый шестиугольник ABCDEF, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналями AD, BE и CF.

Решение

Пусть A₁, B₁, ..., F₁ — середины сторон AB, BC, ..., FA. Равенство диагоналей AD и BE эквивалентно тому, что прямая A₁D₁ перпендикулярна прямым AB и DE. Пусть O — точка пересечения прямых A₁D₁ и B₁E₁. Нужно построить аффинное преобразование, которое переводит углы A₁ и B₁ четырехугольника A₁BB₁O в прямые углы. Для этого можно воспользоваться результатом задачи 29.13B. То, что точки пересечения продолжений сторон четырехугольника A₁BB₁O расположены именно так, как нужно, следует из выпуклости шестиугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.013B1