Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

   Решение

На круглой поляне радиуса R растут три круглые сосны одинакового диаметра. Центры их стволов находятся на расстоянии от центра поляны в вершинах равностороннего треугольника. Два человека, выйдя одновременно из диаметрально противоположных точек поляны, обходят поляну по краю с одинаковой скоростью и в одном направлении и всё время не видят друг друга. Увидят ли друг друга три человека, если они так же будут обходить поляну, выйдя из точек, находящихся в вершинах вписанного в поляну правильного треугольника?

   Решение

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, ..., 1963 так, чтобы сумма каждых двух выбранных чисел делилась на 26?

   Решение

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость гангстера равна 2,9 максимальной скорости полицейского. Полицейский хочет оказаться вместе с гангстером на одной стороне квадрата. Всегда ли он сможет этого добиться?

   Решение

На плоскости даны три вектора a, b, c, причем a + b + c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами ||, ||, || можно составить треугольник.

   Решение

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны три вектора a, b, c, причем a + b + c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами ||, ||, || можно составить треугольник.

Решение

Предположим, что существует аффинное преобразование, переводящее векторы a, b, c в векторы a', b', c' равной длины. Из равенства a' + b' + c' = 0 следует, что из отрезков длины ||, ||, || можно составить треугольник.
Предположим теперь, что из отрезков длины ||, ||, || можно составить треугольник. Тогда a' + b' + c' = 0 для некоторых векторов a', b', c' единичной длины. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее векторы a и b в a' и b'. Из равенств a + b + c = 0 и a' + b' + c' = 0 следует, что рассматриваемое аффинное преобразование переводит вектор c в c' (предполагается, что 0).

Источники и прецеденты использования