Задача 58379

Тема:    [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

Решение

Поскольку аффинным преобразованием любой треугольник переводится в правильный (задача 29.6, б)) и при этом сохраняются отношения длин параллельных отрезков (задача 29.5), достаточно доказать утверждение задачи для правильного треугольника ABC. Пусть точки A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ делят стороны треугольника на равные части, а A', B', C' — середины сторон (рис.). При симметрии относительно AA' прямая BB₁ перейдет в CC₂, а прямая BB₂ — в CC₁. Поскольку симметричные прямые пересекаются на оси симметрии, AA' содержит диагональ рассматриваемого шестиугольника. Аналогично оставшиеся диагонали лежат на BB' и CC'. Ясно, что медианы AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема	Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер	29.012