Задача 58380

Тема:    [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d — прямые, проходящие через B, C, D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b, c, d проходят через одну точку.

Решение

Из задачи 29.6, б) следует, что любой параллелограмм аффинным преобразованием можно перевести в квадрат. Поскольку при этом сохраняются отношения длин параллельных отрезков (задача 29.5), достаточно доказать утверждение задачи в случае, когда ABCD — квадрат. Обозначим через P точку пересечения прямых b и d. Нам достаточно доказать, что PC| MK. Отрезок KL переходит в LM при повороте на 90^o вокруг центра квадрата ABCD, поэтому прямые b и d, которые соответственно параллельны этим отрезкам, перпендикулярны; значит, P лежит на окружности, описанной вокруг ABCD. Тогда CPD = CBD = 45^o, следовательно, угол между прямыми CP и b равен 45^o, но угол между прямыми MK и KL тоже равен 45^o, и b| KL, следовательно, CP| MK.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема	Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер	29.013