Задача 58385

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Пусть a, b, c, d — комплексные числа, причем углы a0b и c0d равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда abcd = 0.

Решение

Пусть A = a/| a|, B = b/| b|, C = c/| c|, D = d /| d|. Эти точки лежат на единичной окружности. Существует такой поворот R, что B = R(A) и D = R(C). Но R — это умножение на комплексное число w = cos + i sin. Следовательно, B/A = C/D = w. Пусть k = | abcd|. Тогда ac = kAC = kAC = k.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.020