ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58385
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c, d — комплексные числа, причем углы a0b и c0d равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда $ \Im$abcd = 0.


Решение

Пусть A = a/| a|, B = b/| b|, C = c/| c|, D = d /| d|. Эти точки лежат на единичной окружности. Существует такой поворот R$\scriptstyle \alpha$, что B = R$\scriptstyle \alpha$(A) и D = R$\scriptstyle \alpha$(C). Но R$\scriptstyle \alpha$ — это умножение на комплексное число w = cos$ \alpha$ + i sin$ \alpha$. Следовательно, B/A = C/D = w. Пусть k = | abcd|. Тогда ac$ \bar{b}$$ \bar{d}$ = kAC$ \bar{B}$$ \bar{D}$ = kAC$ \bar{B}^{-1}_{}$$ \bar{D}^{-1}_{}$ = k.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.020

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .