ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58387
Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = 0.



Решение

Если треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, то a' = az + w, b' = bz + w, c' = cz + w, где z и w — некоторые комплексные числа. В таком случае

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = (az + w)(b - c) + (bz + w)(c - a) + (cz + w)(a - b) = 0.


Предположим теперь, что

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = 0.1)

Пусть z = $ {\frac{a'-b'}{a-b}}$ и w = $ {\frac{ab'-a'b}{a-b}}$. Тогда a' = az + w и b' = bz + w. Рассмотрим комплексное число c'' = cz + w. Треугольники abc и a'b'c'' собственно подобны, поэтому

a'(b - c) + b'(c - a) + c''(a - b) = 0.2)

Из равенств (1) и (2) следует, что c'' = c'.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 3
Название Комплексные числа
Тема Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер 29.022

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .