Задача 58387

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = 0.

Решение

Если треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, то a' = az + w, b' = bz + w, c' = cz + w, где z и w — некоторые комплексные числа. В таком случае

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = (az + w)(b - c) + (bz + w)(c - a) + (cz + w)(a - b) = 0.

Предположим теперь, что

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = 0.1)

Пусть z = и w = . Тогда a' = az + w и b' = bz + w. Рассмотрим комплексное число c'' = cz + w. Треугольники abc и a'b'c'' собственно подобны, поэтому

a'(b - c) + b'(c - a) + c''(a - b) = 0.2)

Из равенств (1) и (2) следует, что c'' = c'.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.022