Информация о задаче

Задача 58393

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Пусть $\varepsilon$ = ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$ . Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $\varepsilon^{2}_{}$ b + $\varepsilon^{4}_{}$ c = 0 или a + $\varepsilon^{4}_{}$ b + $\varepsilon^{2}_{}$ c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a² + b² + c² = ab + bc + ac.

Решение

а) Треугольник с вершинами a, b, c правильный тогда и только тогда, когда

c = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (a + b)± $\displaystyle {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$ (a - b) = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}\pm\frac{i\sqrt{3}}{2}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ± $\displaystyle {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}\pm\frac{i\sqrt{3}}{2}}\right)$ a + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}\mp\frac{i\sqrt{3}}{2}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \mp$ $\displaystyle {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}\mp\frac{i\sqrt{3}}{2}}\right)$ b,

т.е. c = $\varepsilon$ a + $\bar{\varepsilon}$ b или c = $\bar{\varepsilon}$ a + $\varepsilon$ b. Эти равенства эквивалентны равенствам a + $\varepsilon^{2}_{}$ b + $\varepsilon^{4}_{}$ c = 0 и a + $\varepsilon^{4}_{}$ b + $\varepsilon^{2}_{}$ c = 0, поскольку $\varepsilon$ $\bar{\varepsilon}$ = 1 и $\varepsilon^{3}_{}$ = - 1.
Замечание. Если a + $\varepsilon^{2}_{}$ b + $\varepsilon^{4}_{}$ c = 0, то вершины abc обходятся против часовой стрелки, а если a + $\varepsilon^{4}_{}$ b + $\varepsilon^{2}_{}$ c = 0, то по часовой стрелке.
б) Согласно задаче а) точки a, b и c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда

0	= (a + $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ b + $\displaystyle \varepsilon^{4}_{}$ c)(a + $\displaystyle \varepsilon^{4}_{}$ b + $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ c) =
	= a² + b² + c² + ( $\displaystyle \varepsilon^{2}_{}$ + $\displaystyle \varepsilon^{4}_{}$ )(ab + bc + ac).

Остаётся доказать, что $\varepsilon^{2}_{}$ + $\varepsilon^{4}_{}$ = - 1. Для этого заметим, что (1 - $\varepsilon^{2}_{}$ )(1 + $\varepsilon^{2}_{}$ + $\varepsilon^{4}_{}$ ) = 1 - $\varepsilon^{6}_{}$ = 0 и $\varepsilon^{2}_{}$ $\ne$ 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.026B